חלוקת קטע ביחס – נקודת החיתוך של שני קטעיםוקטורים 572 · שיעור 29
וקטורים · שאלון 572
חלוקת קטע ביחס – נקודת החיתוך של שני קטעים
פרק 6 – תלות לינארית ויחידות ההצגה
1נוסח השאלה
2סעיף א – הבעת וקטורים
3סעיף ב – שתי הבעות של OP
4סעיף ג – היחסים
📄 נוסח השאלה
במשולש OAB מסמנים OA = a , OB = b. הנקודה N נמצאת על הצלע OA כך ש־ON : NA = 2 : 1. הנקודה M היא אמצע הצלע AB. הקטעים BN ו־OM נחתכים בנקודה P.
א. הביעו את OM ואת BN באמצעות a ו־b.
ב. הביעו את OP בשתי דרכים: פעם בעזרת OM ופעם בעזרת BN.
ג. מצאו את היחס OP : PM ואת היחס BP : PN.
סעיף א – הבעת וקטורים
OM = 12(OA + OB)
📐 וקטור לאמצע קטע (M אמצע BC)
OM = 12a + 12b
ON = 23OA = 23a
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
BN = ON − OB
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
BN = 23a − b
✅ פתרון סופי: OM = 12a + 12b , BN = 23a − b
📐 וקטור לאמצע קטע (M אמצע BC)
SM = 12(SB + SC)
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
AN = mm + nAB
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
XZ − XY = YZ
סעיף ב – שתי הבעות של OP
הנקודה P על הקטע OM, לכן OP הוא כפולה של OM:
📐 נקודה על ישר (על קטע)
OP = t · OM
OP = t2a + t2b
הנקודה P גם על הקטע BN:
📐 נקודה על ישר (על קטע)
OP = OB + s · BN
OP = b + s(23a − b)
📐 נקודה על ישר (על קטע)
OP = OA + t · AB
📐 נקודה על ישר (על קטע)
OP = OA + t · AB
סעיף ב – שתי הבעות של OP · המשך
OP = b + s(23a − b)
OP = 2s3a + (1 − s)b
✅ פתרון סופי: OP = t2a + t2b , OP = 2s3a + (1 − s)b
סעיף ג – היחסים
שתי ההצגות שוות, ו־a , b אינם קולינאריים – משווים את המקדמים:
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
t2 = 2s3
t2 = 1 − s
אגפי שמאל שווים, לכן גם אגפי ימין שווים:
2s3 = 1 − s
2s = 3 − 3s
📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)
ka + mb = pa + qb ⟸ k = p , m = q
סעיף ג – היחסים · המשך
2s = 3 − 3s
5s = 3
s = 35
t2 = 1 − s
נציב s = 35:
t2 = 1 − 35
סעיף ג – היחסים · המשך
t2 = 1 − 35
t2 = 25
t = 45
מכאן OP = 45OM: הנקודה P מחלקת את OM ל־4 חלקים מול 1.
OP : PM = 4 : 1
ו־BP = 35BN: הנקודה P מחלקת את BN ל־3 חלקים מול 2.
סעיף ג – היחסים · המשך
ו־BP = 35BN: הנקודה P מחלקת את BN ל־3 חלקים מול 2.
BP : PN = 3 : 2
✅ פתרון סופי: OP : PM = 4 : 1 , BP : PN = 3 : 2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
OM = 12a + 12b
BN = 23a − b
BN = 23a − b
סעיף ב
t = 45 , s = 35
סעיף ג
OP : PM = 4 : 1
BP : PN = 3 : 2
BP : PN = 3 : 2
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא